Электротехника и электроника |
Глава № 4 |
ГЛАВА 4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 4.1. Комплексные передаточные функции линейных Важнейшей характеристикой линейной электрической цепи является комплексная передаточная функция H(j В зависимости от типов входного воздействия и реакции цепи различают следующие виды КПФ: 1. Комплексная передаточная функция по напряжению где Um1, Um2, U1, U2 – комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжения воздействия на входе и напряжения реакции на выходе. 2. Комплексная передаточная функция по току где Im1, Im2, I1, I2 — комплексные амплитуды и действующие значения тока воздействия и тока реакции. 3. Комплексное передаточное сопротивление 4. Комплексная передаточная проводимость Из данных определений следует, что Hu(j Комплексные передаточные функции определяются на частоте Рис. 4.1 Рис. 4.2 сигнала воздействия и зависят только от параметров цепи. Как всякую комплексную величину H(j где есть вещественная и мнимая части комплексной передаточной функции цепи. Из (4.5)–(4.8) нетрудно получить соотношения, связывающие АЧХ
и ФЧХ с вещественными и мнимыми частями комплексной передаточной функции АЧХ и ФЧХ являются наиболее фундаментальными понятиями теории цепей и широко используются на практике. Важность этих характеристик для систем электрической связи, радиовещания и телевидения объясняется самой природой передачи сигналов определенного спектрального состава по каналам связи. Требования к АЧХ и ФЧХ различных устройств являются определяющими при проектировании любой аппаратуры связи, так как от степени их выполнения во многом зависит качество передачи информации. Пример. Определить КПФ по напряжению Hu(j Согласно (4.1) запишем: Найдем комплексное действующее значение напряжения на выходе цепи: Рис. 4.3 Рис. 4.4 Рис. 4.5 Подставив U2 в формулы для Hu(j АЧХ цепи ФЧХ цепи (АЧХ и ФЧХ цепи изображены на рис. 4.3, а, б). АЧХ и ФЧХ цепи можно представить единым графиком, если построить зависимость КПФ H(j В ряде случаев частотные характеристики цепи могут изменяться в очень широких пределах, поэтому более удобно их оценивать в логарифмическом масштабе. С этой целью для оценки АЧХ вводят понятие логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАХ): Оценивается ЛАХ согласно (4.14) в децибелах (дБ). В активных цепях К называют еще логарифмическим усилением. Для пассивных цепей вместо коэффициента усиления оперируют ослаблением цепи: которое также оценивается в децибелах. Наряду с передаточными функциями (4.1)—(4.4) в ряде случаев (см. гл. 16, 17,18) находят применение комплексные функции, определяющиеся отношением комплексной реакции к комплексному воздействию на входных зажимах электрической цепи (рис. 4.4) Функции вида (4.16) носят название комплексных входных функций цепей. 4.2. Частотные характеристики последовательного В радиотехнике и электросвязи большое значение имеет явление резонанса. Резонансом называют такое состояние электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и приложенным напряжением равен нулю. Цепи, в которых возникает явление резонанса, называют колебательными контурами, или резонансными цепями. Колебательные контуры и явления резонанса находят широкое применение в радиотехнике и электросвязи. Резонансные цепи являются составной частью многих радиотехнических устройств: избирательные цепи в радиоприемниках и усилителях, частотно-зависимые элементы автогенераторов, фильтров, корректоров, других устройств. Для получения высоких технико-экономических показателей (избирательности, полосы пропускания, коэффициента прямоугольности, равномерности и т. д.) резонансные цепи должны иметь достаточно сложную структуру (многоконтурные связанные цепи, активные резонансные системы и др.). Некоторые из этих систем будут рассмотрены в гл. 15, 17. В настоящей главе изучим основные особенности работы цепей в режиме резонанса на примере простейших колебательных контуров. Простейший колебательный контур содержит индуктивный и емкостный элементы, соединенные последовательно (последовательный контур) или параллельно (параллельный контур). В последнее время широкое распространение получили резонансные цепи на базе операционных усилителей (ОУ). Различают два типа резонансов: напряжений и токов. В последовательном контуре возникает резонанс напряжений, а в параллельном – резонанс токов. Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют резонансной. На рис. 4.5 изображена схема последовательного контура с реактивными элементами L и С и резистивным сопротивлением R, характеризующим потери в контуре. Приложим к контуру гармоническое напряжение с частотой а ток в контуре уравнением Фазовый сдвиг между током и приложенным напряжением При резонансе Отсюда получаем уравнение резонансной частоты На резонансной частоте комплексное сопротивление носит чисто активный характер, т. е. Z = R, ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и достигает максимального значения I0 = = U/R. Реактивные сопротивления контура на резонансной частоте Величина Резонансные свойства контура характеризуются добротностью контура, которая в общем случае определяется величиной где Wр — максимальные значения реактивной энергии, запасенной в контуре при резонансе; WaТ — активная энергия, поглощаемая в контуре за период Т. Величина, обратная добротности, называется затуханием контура и обозначается d: Величина Q безразмерна и обычно колеблется для реальных
контуров от 10 до 100 и выше. Для выяснения физического смысла параметра Q
исследуем энергетические соотношения в контуре при резонансе. Положим, например,
что при резонансе ток в цепи Если учесть, что при резонансе так как уменьшение WL сопровождается увеличением WC и наоборот. Таким образом, происходит периодический обмен энергией между элементами L и С без участия источника. Энергия источника расходуется только на покрытие тепловых потерь в элементе активного сопротивления R; реактивная мощность при резонансе не потребляется. Активная энергия, рассеиваемая в контуре за период Т, равна Откуда принимая во внимание, что Найдем отношение действующих значений напряжений на реактивных элементах (L и С) к действующему значению приложенного напряжения при резонансе: Рис. 4.6 Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз резонансные напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряжение. Отсюда следует и термин “резонанс напряжений”. Это свойство контура “усиливать” приложенное напряжение резонансной частоты широко используется на практике. Величины Анализируя характер уравнений напряжений и токов в RLC-цепи,
фазовых сдвигов между ними при гармоническом воздействии нетрудно видеть, что
они являются частотно-зависимыми. Эта зависимость вытекает непосредственно из
зависимости реактивных элементов XL и XC
от частоты Рис. 4.7 Рис. 4.8 Из представленных характеристик следует, что при Зависимость действующего значения тока от частоты можно найти из уравнения (4.18)* : * Зависимость (4.29) носит название резонансной кривой тока (рис. 4.8). Действующие значения напряжений на реактивных элементах можно найти согласно закону Ома: Зависимости I( Выходное напряжение обычно снимается с емкостного или индуктивного элемента контура. В соответствии с этим представляет наибольший практический интерес КПФ по напряжению относительно элементов С и L: Из уравнений (4.33) и (4.34) нетрудно получить уравнения АЧХ и ФЧХ последовательного контура На рис. 4.9 изображены АЧХ и ФЧХ последовательного контура, определяемые формулами (4.35)—(4.37). Как следует из представленных зависимостей, АЧХ HC( Максимальные значения HC( Рис. 4.9 Подставив значения HC( При этом АЧХ HC( Анализ полученных зависимостей показывает, что с увеличением добротности Q (уменьшением затухания d) частоты Степень отклонения режима колебательного контура от резонанса принято оценивать абсолютной, относительной и обобщенной расстройками. Отклонение от резонансного режима может происходить в результате изменения частоты задающего генератора или вариации параметров контура. Расстройки определяются следующим образом: абсолютная относительная обобщенная Наиболее широко в теоретических исследованиях применяется обобщенная
расстройка а аргумент в форме Важной характеристикой колебательного контура является полоса
пропускания. В общем случае абсолютной полосой пропускания называют диапазон
частот в пределах которого коэффициент передачи уменьшается в * Существуют и другие определения полосы пропускания, соответствующие другому зна-чению ослабления тока или напряжения (см. гл. 17). а относительная где f1 и f2 — нижняя и верхняя граничные частоты. Для нахождения граничных частот f1 и f2
полосы пропускания решим уравнение Из вышеизложенного следует, что на границе полосы пропускания
Абсолютную и относительную полосу пропускания Уравнения (4.50) могут быть положены в основу экспериментального
определения добротности по резонансной кривой тока I( Пример. Определить полосу пропускания контура, нагруженного на резистивное сопротивление Rн (рис. 4.11, а). Преобразуем параллельный участок С и Rн в эквивалентный последовательный с помощью формул (3.56): Рис. 4.10 Рис. 4.11 Важным для практики является случай, когда Rн т. е. при подключении высокоомной нагрузки к контуру его резонансная частота не изменяется, но увеличиваются потери в контуре (рис. 4.11, б). При этом уменьшается добротность Q'
= В заключение следует отметить, что на практике обычно используются высокодобротные контуры, причем низкоомные нагрузки подключаются к контурам через различные согласующие устройства (трансформаторы, повторители и др.). Для получения высоких качественных характеристик (большого входного и низкого выходного сопротивлений, высокой добротности, малой чувствительности резонансной частоты и выходного сигнала от нагрузки) применяют электронные аналоги колебательных контуров, реализуемых на базе зависимых источников. На рис. 4.12 изображена схема колебательного контура, реализованного на базе ARC-звена, второго порядка (рис. 3.37, а), где принято Y1 = G1; Y2 = j где Комплексная передаточная функция (4.33) пассивного RLC-контура можно также представить в следующем виде: где a' 0 = b' 0 = l; b' 2 = LC; b' 1 = RC, т. е. (4.52) совпадает с (4.51) с точностью до постоянных множителей. Рис. 4.12 Рис. 4.13 Таким образом, с помощью рассмотренной активной цепи можно получить электронный аналог колебательного контура. На базе активных элементов можно реализовать и другие схемы электронных аналогов колебательных контуров, важным преимуществом которых является отсутствие индуктивностей, высокое значение добротности, слабо зависящей от нагрузки, легкость перестройки. 4.3. Частотные характеристики параллельного Простейший параллельный колебательный контур с потерями в ветвях R1 и R2 имеет вид, изображенный на рис. 4.13. Комплексная входная проводимость такого контура где Y1 = G1—jВ1; Y2 = G2—jВ2 — комплексные проводимости ветвей с индуктивностью и емкостью соответственно. Проводимости G1, G2, B1, B2 можно найти из формул преобразования (3.57): где Из условия резонанса токов имеем: Решив (4.55) относительно Из уравнения (4.56) следует, что резонанс в параллельном контуре возможен лишь в случае неотрицательности подкоренного выражения (т. е. при R1 < Реактивные составляющие токов в ветвях при резонансе равны друг другу: При этом ток в неразветвленной части цепи определяется из уравнения где активное сопротивление R0э, называют эквивалентным резонансным сопротивлением параллельного контура. Как следует из уравнения (4.58), входной ток контура совпадает по фазе с приложенным напряжением. Величину R0э можно найти из условия резонанса токов. Так как при резонансе токов В = 0, то согласно (4.53) и (4.54) полная эквивалентная проводимость контура Подставив значение откуда Наибольший теоретический и практический интерес представляют резонанс токов в контурах без потерь и с малыми потерями. Контур без потерь. Для контура без потерь (R1 = R2 = 0) уравнение резонансной частоты (4.56) принимает вид т. е. совпадает с выражением (4.21) для последовательного контура. Эквивалентное сопротивление контура без потерь R0э = т. е. ток в индуктивности отстает от приложенного напряжения
на Рис. 4.14 Сумма энергий электрического и магнитного полей для параллельного контура без потерь, как и для последовательного контура остается неизменной, т. е. энергетические процессы протекают аналогично процессам в последовательном контуре. Частотные зависимости характеристик параллельного контура от частоты имеют вид На рис. 4.15 изображены графики зависимостей (4.64). Как следует из рисунка, при т. е. является зеркальным отображением модуля реактивной проводимости |В( Контур с малыми потерями (R1 где R = R1 + R2. Ток в неразветвленной части цепи а комплексные значения токов в ветвях где т. е. действующие значения токов в ветвях Из уравнений (4.67) и (4.69) следует, что отношение токов в ветвях к току в неразветвленной части цепи равно добротности контура: т. е. ток в реактивных элементах L и С при резонансе в Q раз больше тока на входе контура (отсюда термин “резонанс токов”). На рис. 4.14, б изображена векторная диаграмма токов для этого случая. В контуре с потерями сумма энергий электрического и магнитного полей не остается постоянной с течением времени. Рис. 4.15 Интересен случай R1 = R2 = Рассмотрим частотные характеристики контура с малыми потерями. Комплексное эквивалентное сопротивление контура можно определить уравнением В режиме малых расстроек в цепи с незначительными потерями
с учетом малости потерь (R1 Выделяя в (4.72) активную Rэ и реактивную Хэ составляющие, получаем уравнения частотных характеристик: На рис. 4.16, а изображены нормированные относительно R0эчастотные характеристики Rэ/R0э, Xэ/R0э, и Zэ/R0э как функции обобщенной расстройки Рис. 4.16 Анализ полученных зависимостей показывает, что по своему виду частотные характеристики контура с потерями существенно отличаются от характеристик контура без потерь. Это отличие касается прежде всего зависимости реактивного сопротивления контура от частоты: для контура с потерями при резонансе оно оказывается равным нулю (см. рис. 4.16, а), а в контуре без потерь терпит разрыв (см. рис. 4.15). Зависимость комплексного входного тока от частоты определяется из уравнения т. е. при резонансе ( Частотная зависимость токов I1( т. е. ток I1 с увеличением частоты Комплексная передаточная функция по току в ветвях с L и С параллельного колебательного контура определяется в соответствии с (4.2): Рис. 4.17 Рис. 4.18 Отсюда получаем АЧХ и ФЧХ КПФ по току для контура с малыми потерями: В контуре с малыми потерями при резонансе АЧХ принимает значения: Сравнение формул (4.32)—(4.38) с формулами (4.78)—(4.81) показывает, что КПФ по току параллельного контура дуально соответствует КПФ по напряжению для последовательного контура. Рассмотрим, как влияет на резонансные свойства параллельного контура подключение его к источнику с задающим напряжением Uг и внутренним сопротивлением Rг. При этом выходное напряжение снимается с контура (рис. 4.17). Нетрудно видеть, что комплексное напряжение на контуре где Zэ определяется формулой (4.71). При резонансе токов Определим отношение Uк/Uкр с учетом (4.72), (4.83), (4.84); Введем понятие эквивалентной добротности контура Тогда после несложных преобразований формулы (4.85) с учетом (4.44) и (4.86) получаем Из (4.87) нетрудно получить АЧХ и ФЧХ относительно напряжения на контуре, нормированного к напряжению Uкр, На рис. 4.18 показан характер этих зависимостей при различных сопротивлениях Rг источника. Полоса пропускания параллельного контура определяется как полоса
частот, на границе которой напряжение на контуре уменьшается в Отсюда получаем уравнение граничных частот полосы пропускания: При этом абсолютная Сравнение уравнений (4.50) с уравнениями (4.91) и (4.92) показывает, что параллельный контур в общем случае имеет более широкую полосу пропускания, чем последовательный с такой же добротностью. И только при Rг = Таким образом, для улучшения избирательных свойств параллельного контура его необходимо возбуждать источником тока. Из уравнения (4.84) также следует, что параллельный контур нельзя использовать для усиления напряжения, если использовать независимый источник, так как при этом Uкp < Uг. Рис. 4.19 Рис. 4.20 Поэтому для усиления напряжения и получения высокой добротности параллельного контура используют активные цепи с зависимыми источниками тока. На рис. 4.19 приведен пример подобной схемы на базе полевого транзистора и его эквивалентная схема замещения. 4.4. Частотные характеристики связанных В ряде радиотехнических устройств (входные цепи радиоприемников, усилители, фильтры сосредоточенной селекции, выходные каскады радиопередатчиков и др.) применяются системы связанных колебательных контуров. Отличительной особенностью связанных контуров является лучшая избирательность* АЧХ по сравнению с одиночными контурами. Это позволяет лучше отфильтровать частоты за границами полосы пропускания, обеспечить большую равномерность, а, следовательно, меньшие частотные искажения сигнала в полосе пропускания. На рис. 4.20 приведена обобщенная схема двух связанных колебательных контуров: с внутренней связью (рис. 4.20, а) и внешней связью (рис. 4.20, б), где Z1, Z2 — комплексное сопротивление первого и второго контуров, Zсв — комплексное сопротивление связи между контурами, Zн — сопротивление нагрузки. Переход от схемы, изображенной на рис. 4.20, а к схеме рис. 4.20, б можно осуществить с помощью формул преобразования “звезда—треугольник” (см. § 2.2). * Под избирательностью понимают способность контура усиливать сигналы (напряжения, токи) различных частот в неодинаковое число раз. Рис. 4.21 В зависимости от вида связи различают контуры с трансформаторной связью (рис. 4.21, а), автотрансформаторной связью (рис. 4.21, б), емкостной связью (внутренней) (рис. 4.21, в), комбинированной связью (рис. 4.21, г) и др. Важнейшей характеристикой связанных контуров является коэффициент связи. Для контура с трансформаторной связью коэффициент связи определяется известной формулой (3.74). Для других видов связи коэффициент k можно найти с помощью формулы где Хсв — реактивная составляющая комплексного сопротивления связи Zсв; Х1, Х2 — реактивные сопротивления первого и второго контуров того же знака, что и реактивное сопротивление связи Хсв. Например, для контура с индуктивной автотрансформаторной связью (рис. 4.21, б) коэффициент связи где Для контура с емкостной связью (рис. 4.21, в) аналогично получаем: где и для контура с комбинированной связью Рис. 4.22 Исследование частотных характеристик связанных колебательных контуров удобно вести с помощью одноконтурных схем замещения (рис. 4.22), которые могут быть получены для обобщенной схемы (рис. 4.20, а) аналогично уравнениям трансформатора (3.106): где Z11 = Z1 + Zсв; Z22 = Z2 + Zсв. Решая систему уравнений (4.97) относительно I1 и I2 и учитывая уравнение для вносимых сопротивлений (3.111), (3.112), получаем для схемы (рис. 4.22, а) и (рис. 4.22, б) Для схемы (рис, 4.22, в) и (рис. 4.22, г) Резонанс в системе связанных контуров достигается соответствующей их настройкой и подбором оптимальной связи между ними. В зависимости от видов настройки различают: 1. Первый частный резонанс, который обеспечивает максимум тока I1max = U1/(R11 + R1вн) и достигается настройкой первого контура до обеспечения условия: X11 = –X1вн (см. рис. 4.22, а). 2. Второй частный резонанс, обеспечивающий максимум тока I2max = (U1Xсв/Z11)/(R22 + R2вн) и который достигается настройкой до обеспечения условия X22 = —Х2вн (см. рис. 4.22, в). 3. Сложный резонанс — осуществляется путем настройки каждого контура на частный резонанс и подбором оптимального сопротивления связи При этом I2 во втором контуре достигает максимального значения (максимум максиморум): Нетрудно видеть, что настройка I контура в первый частный резонанс
и подбор связи (4.100) эквивалентен условию Z = 4. Полный резонанс — достигается настройкой каждого контура в индивидуальный резонанс (Х11 = 0; Х22 = 0) и подбором оптимальной связи: При этом ток I2 определяется также формулой (4.101). Уравнение сопротивления связи (4.100) может быть получено из
уравнения dI2/dXсв = 0 при условиях Z11
= Сравнение сложного и полного резонансов показывает, что в последнем случае I2mахmах достигается при меньшем сопротивлении связи. Связанные контуры обычно используются в режиме передачи максимальной мощности во вторичный контур: P2 =I22R22, поэтому среди частотных характеристик наибольший интерес представляет зависимость I2( Выразим сопротивление контуров Z11 и Z22 (см. рис. 4.20, а) через обобщенную расстройку Подставив Z11, Z22 и Zсв в (4.99), получим для тока I2: Рис. 4.23 Рис. 4.24 На частотах, близких к резонансу, можно считать, что где Q1 = Тогда с учетом (4.105) и (4.101) нормированная относительно I2тахтах АЧХ тока I2 будет равна: Величина A = Для идентичных контуров Q1 = Q2 = Q, Анализ формулы (4.107) показывает, что в зависимости от соотношения между коэффициентом связи k и затуханием контура d = 1/Q могут иметь место три основных случая: 1) k < d – слабая связь (А < 1); 2) k > d — сильная связь (А > 1); 3) k = d — критическая связь (А = 1). В зависимости от характера связи существенно изменяется вид АЧХ. Так, при слабой связи АЧХ имеет вид резонансной кривой (рис. 4.23), аналогичной одиночному колебательному контуру с максимумом при С увеличением k > d (А > 1) характер зависимости тока I2 от частоты существенно изменяется: АЧХ приобретает двугорбый характер (рис. 4.24). На частоте Рис. 4.25 Рис. 4.26 максимум I2max max. С учетом (4.47) из (4.108) можно найти уравнение частот т. е. с увеличением связи частота Полоса пропускания связанных контуров определяется из условия
I2/I2maxmax = 1/ Из этого выражения видно, что при A > 1 полоса пропускания распадается на две (рис. 4.25) с граничными частотами где I2рез – значение тока I2 на резонансной частоте ( При критической связи k = d, Для случая слабой связи необходимо нормировать величину I2 относительно I2рез: Далее находим обобщенную расстройку, соответствующую полосе
пропускания Если связь очень слабая (А 4.5. Частотные характеристики реактивных двухполюсников Общие свойства реактивных двухполюсников. Наряду с комплексными передаточными функциями цепей, АЧХ и ФЧХ в задачах анализа и синтеза важно знать частотные зависимости входных функций цепи: входного сопротивления Z(j Простейшим реактивным двухполюсником является элемент индуктивности и емкости (одноэлементный двухполюсник). К двухэлементному двухполюснику относятся последовательный (4.26, а) и параллельный контуры без потерь (рис. 4.26, б). Функции входного сопротивления и проводимости этих двухполюсников равны: где Рис. 4.27 На рис. 4.27 изображена зависимость функций входных сопротивлений двухполюсника (4.115) от частоты: Двухполюсники называются эквивалентными, если они обладают одинаковыми входными функциями. Двухполюсники называют обратными* , если они удовлетворяют условию: * Правило получения обратных двухполюсников базируется на принципе ду-альности: по-следовательные соединения в исходном двухполюснике заменяются параллельными соединениями дуальных элементов. где R — некоторое постоянное сопротивление. Рассматриваемые двухполюсники Za(j Из трех реактивных элементов можно составить уже четыре схемы двухполюсников. На рис. 4.28 приведены две возможные схемы. Их функции входных сопротивлений будут: где где Рис. 4.28 Рис. 4.29 На рис. 4.29 изображены частотные характеристики (4.118) и (4.119). Анализируя приведенные схемы и графики, можно сформулировать основные свойства реактивных двухполюсников: 1. Входное сопротивление растет с ростом частоты (dZ(j 2. Количество резонансных частот на единицу меньше числа элементов. 3. Резонансы токов (полюса Z(j 4. В числителе функции входного сопротивления стоит множитель с частотами резонанса напряжения, а в знаменателе – резонанс токов. 5. Множитель j В зависимости от характера зависимой функции входного сопротивления на частоте Канонические схемы реактивных двухполюсников. Наиболее распространенными в теории цепей являются канонические схемы, построенные по правилу (канону) Фостера и Кауэра. Рис. 4.30 Рис. 4.31 В схемах Фостера двухполюсник представляется либо в виде последовательного соединения параллельных колебательных контуров (первая схема Фостера) (рис. 4.30, а), либо в виде параллельно соединенных последовательных контуров (вторая схема Фостера) (рис. 4.30, б). Коэффициент Н в формулах (см. табл. 4.1) определяется как
H = La, для второй схемы Фостера класса (0, 0) Н = 1/Сб и т. д. В схемах Кауэра двухполюсники представлены в виде цепочечных (лестничных) схем, в продольных ветвях которых находятся индуктивности, а в поперечных емкости (первая схема Кауэра, рис. 4.31, а), либо наоборот — в продольных емкости, а в поперечных — индуктивности (вторая схема Кауэра, рис. 4.31, б). В зависимости от класса канонические схемы Фостера и Кауэра имеют частотные характеристики входных функций, изображенные в табл. 4.1. Положительной особенностью канонических схем Фостера и Кауэра является то, что из всех эквивалентных двухполюсников с заданной частотной характеристикой, они имеют минимальное число элементов. При решении задач синтеза обычно входные функции в схемах Фостера представляются в виде разложения на простые дроби, а в схемах Кауэра — на цепные дроби (см. гл. 16). 4.6. Машинные методы анализа частотных При расчете частотных характеристик цепи машинными методами представляют КПФ в виде отношений двух полиномов: где Из уравнения (4.120) находим АЧХ цепи: и ФЧХ цепи Для построения АЧХ и ФЧХ задаются равномерной либо логарифмической шкалой частот от fmin до fmax. Очередное значение частоты определяется из соотношения fk+1 = c2fk + c1, где c2, c1 — коэффициенты, определяющие шаг по логарифмической и линейной шкале частот соответственно. Затем на каждой из частот вычисляется АЧХ и ФЧХ цепи согласно формул (4.122) и (4.123). На рис. 4.32 приведена схема алгоритма расчета АЧХ и ФЧХ. Если диапазон частот fmin и fmax, где расположены частотные характеристики цепи, заранее неизвестен, то положив c1 = 0 и c2 = = 0, можно в логарифмическом масштабе с большим шагом рассчитать значение АЧХ в широком частотном диапазоне. После этого произвести более подробный расчет частотных характеристик цепи в выбранном диапазоне уже с равномерной шкалой частот с более мелким шагом. Рис. 4.32 Расчет частотных характеристик можно произвести и в базисе узловых потенциалов. Для этого уравнение равновесия (3.64) записывается в частотной области: При этом компонентные уравнения для IC и IL принимают вид где V1 – V2 – разность потенциалов на реактивном элементе. Для решения (4.124) может использоваться как и для (3.64) либо стандартная программа обращения матрицы Yy(j выбирается комплексное значение потенциала и находится АЧХ и ФЧХ Пример. Рассчитать передаточную функцию, АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 4.33 1. Задание схемы в ЭВМ. Для расчета на ЭВМ характеристик цепи необходимо схему цепи ввести в ЭВМ. Рис. 4.33 Одним из наиболее простых и удобных способов задания схемы в ЭВМ является табличный способ ее описания в виде соединения узел – ветвь. Для задания схемы в программах анализа все ее ветви и узлы нумеруются (используются простые узлы). Каждый элемент цепи характеризуется типом (R, L, C); узлами, между которыми он включен и численным значением.
Схема, изображенная на рис. 4.33 полностью описывается следующей таблицей соединений: Первый символ указывает тип (R, L, C) и порядковый номер элемента ветви. Вторая и третья цифры в спецификации указывают номера узлов, между которыми включен элемент. Последняя цифра характеризует значение параметра. 2. Расчет передаточной функции цепи. Приведем последовательность расчета передаточной функции цепи с использованием метода узловых напряжений:
Структурная матрица Матрица эдс источников напряжения Матрица проводимостей ветвей. Матрица узловых токов Матрица узловых проводимостей Обратная матрица где
где Матрица узловых напряжений Принимаем На рис. 4.33
Рис. 4.34 Рис. 4.35 На рис. 4.34 приведены графики АЧХ – 3. Алгоритм расчета АЧХ и ФЧХ. На рис. 4.35 приведен алгоритм расчета АЧХ и ФЧХ цепи на основе метода узловых напряжений. Вопросы и задания для самопроверки
Рис. 4.36 Ответ: |