Задача 3.1

 

Задача посвящена анализу переходного процесса в цепи первого порядка, содержащей резисторы, конденсатор или индуктивность. В момент времени t = 0 происходит переключение ключа К, в результате чего в цепи возникает переходной процесс.

1. Перерисуйте схему цепи (см. рис. 3.1) для Вашего варианта (таблица 1).

2. Выпишите числовые данные для Вашего варианта (таблица 2).

3. Рассчитайте все токи и напряжение на С или L в три момента времени t: , , ¥.

4. Рассчитайте классическим методом переходный процесс в виде , ,  в схемах 1 – 5, , ,  в схемах 6 – 10. Проверьте правильность расчетов, выполненных в п. 4, путем сопоставления их с результатами расчетов в п. 3.

5. Постройте графики переходных токов и напряжения, рассчитанных в п. 4. Определите длительность переходного процесса, соответствующую переходу цепи в установившееся состояние с погрешностью 5%.

6. Рассчитайте ток  операторным методом.

 

 

Решение

 

1.1. Момент t = 0_–. Он соответствует стационарному состоянию цепи до коммутации. В этом состоянии резистор R₄ закорочен ключом К и не влияет на работу цепи. Сама схема (рис. 3.2 а) представляет собой цепь, в которой u_L(0_–) = 0, поэтому она может быть рассчитана по следующим формулам:

1.2. Момент t = 0₊. Это первое мгновение после размыкания ключа. В соответствие с законом коммутации

                                       

После числовых подстановок с учетом (3.1) получим:

Решая систему, находим:

 

Рис. 3.3

 

 

1.3. Момент t = ¥. Означает новое стационарное состояние цепи после окончания переходного процесса. Внешне схема цепи при t = ¥ соответствует рис. 3.2 б, причем , а токи рассчитываются по формулам:

2. Расчет токов i₂(t), i₃(t) и напряжения u_L(t) после коммутации классическим методом.

Переходный процесс в цепях первого порядка (с одним реактивным элементом) описывается уравнением вида

где f_пр = f (¥) – принужденная составляющая искомой величины, равная ее значению при t = ¥; f_св(t) – свободная составляющая; A – постоянная интегрирования; р – корень характеристического уравнения, определяющий в конечном итоге длительность переходного процесса. Так как р является общей величиной для всех токов и напряжений в конкретной цепи, то расчет переходного процесса целесообразно начать с определения р.

2.1. Характеристическое уравнение для расчета р составляется по операторной схеме замещения, отражающей работу цепи после коммутации, и показанной на рис. 3.3.

Принимая Z( p) = 0, получим характеристическое уравнение

Решение уравнения дает корень

Величина

называется постоянной времени цепи.

2.2. Расчет i₂(t).

В соответствии с (3.3) запишем:

Учтем, что i_2пр = i₂(¥) = 3 мА. Величину A₁ найдем из рассмотрения i₂(0₊) с учетом независимого начального условия (3.1):

Откуда A₁ = 1,6 – 3 = –1,4. Тогда

2.3. Расчет u_L(t).

Воспользуемся законом Ома для индуктивности

2.4. Расчет i₃(t). Ведется аналогично расчету i₂(t).

2.5. Проверка правильности расчетов производится путем анализа выражений (3.6), (3.7) и (3.8) в моменты времени t = 0 и ¥.

      

    

  

Полученные значения всех величин совпадают с результатами расчетов в п. 1.

3. Построение графиков переходного процесса.

Для построения графиков необходимо составить таблицу значений i₂(t), i₃(t), u_L(t) в различные моменты времени (таблица 3).

Таблица 3

 

Кривые i₂(t) и i₃(t) могут быть построены на одном графике. При выборе масштабных делений по осям графиков учитываются максимальные значения соответствующих величин. Для тока и напряжения целесообразно принять в 1 см по 1 мА и 1 В соответственно. Масштаб по оси времени определяется длительностью переходного процесса. Известно, что экспоненциальные функции за время t = 3t изменяется на 95% от своего максимального значения. Тогда можно принять, что переходный процесс в цепях первого порядка заканчивается через 3t с погрешностью 5%. Учитывая (3.5), получим для данной схемы t_пер.пр = 3t = 8,4 мкс. Для построения графика удобно принять масштаб по оси времени 2 мкс в 1 см.

4. Расчет тока i₂(t) операторным методом.

Для состояния цепи при t ³ 0 (рис. 3.2) составляется операторная схема замещения, которая учитывает независимые начальные условия в виде дополнительных (расчетных) источников напряжения Li_L(0) или u_C(0)/p. В данной задаче таким источником будет Li₂(0) (рис. 3.5).

Используя закон Ома, в операторной форме, запишем

где U_ab( p) может быть найдено по методу узловых напряжений:

Подставляя (3.10) в (3.9), получим

После числовых подстановок

Используя теорему разложения, найдем оригинал тока:

которое совпадает с выражение (3.6), полученным классическим методом.

Задача 3.2

Задача посвящена временному и частотному (спектральному) методам расчета реакции цепей на сигналы произвольной формы. В качестве такого сигнала используется импульс прямоугольной формы (видеоимпульс).

Электрические схемы цепей (рис. 3.6) содержат емкости С или индуктивности L, а также сопротивления R. Для всех вариантов . В схемах, где имеется сопротивление , его величина . Во всех схемах входным напряжением является прямоугольный импульс длительностью и амплитудой .

1. Перерисуйте схему Вашего варианта (см. табл. 1 и рис. 3.6). Выпишите исходные данные Вашего варианта (таблица 4).

Таблица 4

Варианты	С, пф или L, мкГн	, кОм	, нс	, В
От 00 до 09 От 10 до 19 От 20 до 29 От 30 до 39 От 40 до 49 От 50 до 59 От 60 до 69 От 70 до 79 От 80 до 89 От 90 до 99	20 25 30 20 25 30 20 25 30 25	1 1 1 2 2 2 3 3 3 2,5	30 35 40 35 40 45 35 40 45 35	3 4 5 6 7 3 4 5 6 7

 

Временной метод расчета

2. Рассчитайте переходную и импульсную характеристики цепи по напряжению классическим или операторным методами (по выбору).

Рис.3.6

3. Рассчитайте реакцию цепи в виде выходного напряжений используя:

• интеграл Дюамеля;
• интеграл наложения.

4. Постройте временные диаграммы входного и выходного напряжений.

Частотный метод расчета

5. Рассчитайте комплексные спектральные плотности входного и выходного сигналов.

6. Рассчитайте и постройте графики модулей , и модуля комплексной передаточной функции цепи , как функций от циклической частоты f в диапазоне частот 0 - .

Типовая задача Т3.2

Схема цепи, приведенная на рис. 3.7 а, содержит емкость С = 10 пф и сопротивления = 1 кОм, = 3 кОм. На входе цепи действует прямоугольный импульс (рис. 3.8) длительностью = 60 нс и амплитудой = 4 В. Выполнить расчеты в соответствии с заданием к задаче 3.2.

Решение

1. Расчет переходной и импульсной характеристик классическим методом.

1.1. Переходная характеристика цепи рассчитывается, как переходной процесс в виде тока или напряжения, вызванный включением цепи с нулевыми начальными условиями на постоянное напряжение 1 В. В соответствие с этим составляется схема включения (рис. 3.7 б) , на которой E = 1 В. В задаче определяется переходная характеристика по напряжению относительно выходного контура , поэтому можно записать, что:

, (3.11)

Напряжение в схеме на рис. 3.7 б может быть рассчитано с помощью общей формулы (3.3) расчета переходных процессов в схемах первого порядка:

,

где = 1 В; р – корень характеристического уравнения, находится из операторного сопротивления схемы , и равен ; постоянная интегрирования находится из рассмотрения при :

(нулевое начальное условие).

Откуда . Окончательно

,

где – постоянная времени цепи.

Подставляя в (3.11), получим:

(3.12)

Обратить внимание, что в (3.12) определяется только элементами цепи и не зависит ни от токов, ни от напряжений.

1.2 Импульсная характеристика цепи h(t) есть производная от переходной характеристики h(t) = g¢ (t). Однако следует учесть, что, если переходная характеристика отлична от нуля при t = 0, т.е. имеет скачок при t = 0, то при дифференцировании появляется дополнительное слагаемое:

h(t) = g(0)d (t) + g¢ (t).

В рассматриваемой задаче = 0,75, поэтому

, (3.13)

где d (t) – импульсная функция (функция Дирака).

2. Расчет выходного напряжения временным методов.

2.1. Использование интеграла Дюамеля.

Из известных четырех формул интеграла Дюамеля наиболее общий характер имеет формула вида

(3.14)

в обозначениях величин и понятий, принятых в рассматриваемой задаче. Переменной интегрирования в (3.14) является t (не путать с постоянной времени ).

Входное напряжение имеет форму прямоугольного импульса (рис. 3.8), аналитическая запись которого может быть представлена как

(3.15)

Из (3.15) следует, что и что производная = 0 или для переменной = 0.

Число участников интегрирования в (3.14) определяется числом участков в функции, описывающей входной сигнал, в которых она непрерывна и дифференцируема [1, с. 188]. Для функции (3.15) таких участков в виде интервалов времени два: и . Необходимость учета второго участка, когда , объясняется тем, что за время действия импульса в реактивных элементах цепи накапливается энергия электрического и магнитного полей, которая после окончания импульса постепенно убывает до нуля, создавая напряжение и токи в цепи. Анализ этих величин и проводится в интервале .

Важнейшей характерной особенностью аппарата интеграла Дюамеля является то, что при записи реакции цепи на каждом новом интервале времени наличие скачкообразного изменения входного сигнала в начальный момент рассматриваемого интервала учитывается дополнительным слагаемым вида

,

где D U – амплитуда скачка;

– момент действия скачка.

Учитывая сказанное, запишем выходное напряжение цепи в соответствие с (3.14) и (3.12):

для интервала времени

. (3.16)

для интервала времени

(3.17)

2.2. Использование интеграла наложения.

В отличие от интеграла Дюамеля в интеграле наложения не учитываются дополнительными слагаемыми скачки входного напряжения:

, (3.18)

С учетом (3.13) реакция (3.18) заданной цепи на прямоугольный импульс будет равна:

для интервала времени

,

Используя фильтрующее свойство импульсной d -функции [1. стр. 173], получим

,

Для интервала времени

Сравнение результатов расчетов напряжения с использованием интегралов наложения и Дюамеля показывает, что они совпадают между собой.

3. Построение временной диаграммы входного и выходного напряжений.

Диаграмма выходного напряжения строится с использованием формул (3.16) и (3.17) путем подстановки в них соответствующих моментов времени. Результаты расчетов сводятся в таблицу 5.

Таблица 5

Время,	0	0,3	0,6
нс	0	18	36	60	60	100	140	180

, В	4	4	4	4	0	0	0	0
, В	3	3,4	3,6	3,8	0,8	0,28	0,03	0,01

---

назад