Электротехника и электроника |
АНАЛОГОВЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ |
1.1. Краткие теоретические сведения
Электрическими фильтром называется линейный четырехполюсник, предназначенный для пропускания с малым ослаблением колебаний, частоты которых расположены в заданной полосе частот (полоса пропускания) и для пропускания с большим ослаблением колебаний других частот( полоса непропускания ).
По взаимному расположению полос пропускания и непропускания различают (рис I.I):
- фильтры нижних частот (ФНЧ);
- фильтры верхних частот (ФВЧ);
- полосовые фильтры (ПФ);
- заграждающие (режекторные) фильтры (ЗФ).
рис 1.1.а
рис 1.1.б
рис 1.1.в
рис 1.1.г
Требования к электрическим характеристикам фильтра формулируются путем указания:
- граничных частот полосы пропускания и максимального уровня рабочего ослабления в этом диапазоне частот;
- граничных частот полосы (полос) непропускания с указанием минимального уровня ослабления в пределах этой полосы;
- характеристическое сопротивление фильтра, обычно равного сопротивлению его нагрузки.
Целесообразно выделить три основных этапа расчета фильтров:
- пересчет требований к заданному фильтру в требования к ФНЧ-прототипу;
- решение задачи аппроксимации;
- решение задачи реализации и переход от ФНЧ-прототипа к заданному типу фильтра.
Хорошо разработанная методика расчета ФНЧ применима к расчету фильтров других типов, если характеристики заданного фильтра путем замены переменной (частоты) пересчитать в характеристики ФНЧ-прототипа. Формулы пересчета имеют вид:
для фильтра верхних частот , для полосового фильтра
, где
, для заграждающего фильтра
(1.3)
Ослабление в полосе непропускания и неравномерность
в полосе пропускания ФНЧ-прототипа остаются
те же, что и у проектируемого фильтра. Перед аппроксимацией частотных характеристик
фильтра-прототипа следует выполнить нормирование по частоте. В качестве нормирующей
берется граничная частота полосы пропускания
.
Нормированное значение частоты:
(1.4)
Частотные характеристики передаточных функций полиномиального фильтра после нормирования по частоте записываются в виде:
(1.5)
Ослабление полиномиального фильтра, то есть его амплитудно-частотная характеристика
(1.6)
где коэффициенты находятся из соотношения
(1.7)
В качестве аппроксимирующих полиномов чаще всего используются полиномы Баттерворта и Чебышева.
При аппроксимации полиномами Баттерворта обеспечивается максимально плоская характеристика ослабления в пределах пропускания:
(1.8)
Коэффициент , обозначаемый обычно
, характеризует неравномерность ослабления в
полосе пропускания и вычисляется по формуле:
(1.9)
Степень аппроксимирующего полинома вычисляется по заданному значению
[дБ] на границе полосы непропускания, то есть
на частоте
:
(1.10)
Полученное значение округляется до ближайшего целого числа (в большую
сторону). Полином знаменателя
передаточной функции фильтра
комплексного аргумента
составляется в соответствии с теоремой Виета
для полюсов
,
,..,
, расположенных в левой полуплоскости переменного
.
Формулы для нахождения полюсов имеют вид /2/:
(1.11)
.
Таким образом:
(1.12)
При аппроксимации полиномами Чебышева обеспечивается равномерно-колебательная характеристика ослабления в пределах полосы пропускания и максимальная крутизна нарастания ослабления в полосе задерживания среди всех типов полиномиальных фильтров равных порядков:
(1.13)
,где - полином Чебышева
-ого порядка в интервале
и
- вне этого интервала.
Коэффициент неравномерности ослабления в полосе пропускания вычисляется по формуле (1.9).
Степень аппроксимирующего полинома, найденная по формуле
(1.14)
округляется до ближайшего большего целого числа.
Значения корней полинома знаменателя передаточной функции вычисляется следующим
образом , где
(1.15)
,
а передаточная функция фильтра записываются в виде:
(1.16)
Расчет гиперболических ареа-синуса и ареа-косинуса удобно проводить по формулам:
(1.17)
Реализация пассивного - фильтра, представляющего собой реактивный четырехполюсник
лестничной структуры, нагруженный на активное сопротивление
, проводится по методу Дарлингтона на основе
формулы входного сопротивления, которая в нормированных значениях имеет вид:
(1.18)
где - функция фильтрации.
Для фильтра Баттерворта -ого порядка она равна:
(1.19)
Для фильтра Чебышева -ого порядка функции фильтрации приведены в таблице
1.1.
Таблица 1.1
|
Полином Чебышева | Функция фильтрации |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
Выражение (1.18) раскладывается в цепную дробь (по Кауэру) вида:
(1.20)
где ,
- нормированные значения емкостей
и индуктивностей
и ФНЧ-прототипа.
Для вычисления истинных значений индуктивностей и емкостей фильтра НЧ-прототипа
необходимо выполнить денормирование полученных значений и
, осуществляемое по формулам:
;
,
где ,
- сопротивление нагрузки.
При переходе от ФНЧ-прототипа к заданному типу фильтра следует руководствоваться
следующим.
Преобразование ФНЧ в ФВЧ состоит в замене индуктивностей продольных ветвей
цепи на емкости:
(1.22)
а емкость в поперечных ветвях на индуктивности:
(1.23)
При переходе к полосовому фильтру индуктивности продольного плеча
заменяются последовательным колебательным контуром
с параметрами:
;
(1.24)
Вместо емкости в поперечном плече включается параллельный контур
с элементами:
,
(1.25)
Аналогичным образом рассчитываются параметры элементов заграждающего фильтра, только в продольном плече его:
,
(1.26)
образуют параллельный колебательный контур, а поперечном плече
и
(1.27)
последовательный контур.
Активные -фильтры представляют собой комбинацию
пассивной
- цепи и активного элемента. В качестве
активного элемента чаще всего используются операционные усилители, имеющие инвертирующий
и неинвертирующий входы.
Исходными данными для синтеза активного - фильтра служит нормированная передаточная
функция
ФНЧ-прототипа, полученная в результате
аппроксимации рабочих характеристик. Обычно активный
-фильтр осуществляется в виде каскадного
соединения звеньев второго и одного звена первого порядка (при
- нечетном). Звенья второго порядка располагают
в направлении от входа к выходу в порядке возрастания добротности их полюсов,
а звено первого порядка включается на выходе фильтра.
При расчете низкочастотных фильтров заданная функция разбивается на произведения передаточных
функций не выше второго порядка:
(1.28)
Каждую из вновь полученных функций реализуют в виде звена первого или второго полрядка. Возможны различные варианты построения схем звеньев. Одна из них приведена на рис.1.2.
рис.1.2
Передаточная функция такой цепи:
(1.29)
Если в схеме рис.1.2 выбрать ,
и
- активными:
,
и
, а проводимости
и
- емкостными:
и
, тогда схема примет вид (рис.1.3), а
передаточная функция ее запишется в виде:
(1.30)
рис.1.3
Приравнивая между собой коэффициенты передаточной функции, входящие сомножителями
в (1.28) и коэффициенты выражения (1.30), получим три уравнения для вычисления
пяти неизвестных ,
,
,
,
:
(1.31)
Задавшись значениями двух неизвестных, находим величины остальных. Следует иметь в виду, что при этом будут вычислены нормированные значения емкостей, так как коэффициенты передаточной функции получены для нормированной частоты:
Звено первого порядка ФНЧ имеет вид(рис1.4).
рис.1.4
Передаточная функция такого звена:
(1.32)
Сопоставляя коэффициенты этой функции с коэффициентами последнего сомножителя, в выражения (1.28) определяют нормированное значение постоянной времени звена фильтра.
При расчете ВЧ-активных - фильтров после разбиения передаточной функции
фильтра НЧ-прототипа на сомножители (1.28) следует произвести замену переменной:
(1.33)
В результате передаточная функция полиномиального звена 2-го порядка ФВЧ будет иметь вид:
(1.34)
А звена 1-ого порядка:
(1.35)
Для реализации такого звена 2-ого порядка в схеме рис. 1.2 выберем проводимости
и
- активными
и
, а проводимости
,
и
- емкостными
,
и
.
Соответствующая схема будет иметь вид (рис.1.5).
рис.1.5
Передаточная функция такой схемы:
(1.36)
Значения элементов схем находятся путем сопоставления аналогичных коэффициентов
выражений (1.34) и (1.36) значения 2-х из пяти неизвестных величин ,
,
,
и
следует задаться.
Звено первого порядка ФВЧ имеет вид (рис 1.6) Передаточная функция такого звена /3/:
(1.37)
из сопоставления коэффициентов этой функции с коэффициентами выражения (1.35) находится нормированное значение постоянной времени звена.
рис.1.6
При проектировании полосового активного -фильтра после разбиения передаточной функции
НЧ-прототипа на сомножители (1.28) проводят замену переменой:
,
(1.38)
где ,
(1.39)
в результате чего передаточная функция звена второго порядка полосового фильтра:
(1.40)
где ,
,
,
.
После несложных преобразований записывается в форме произведения двух передаточных функций вида:
(1.41)
Каждую из полученных передаточных функций можно реализовать (схема рис.1.2)
, если принять ,
,
,
,
(рис.1.7).
рис.1.7
Передаточная функция схемы рис 1.7 имеет вид:
(1.42)
Элементы схемы ПФ определяются путем сопоставления коэффициентов выражений (1.41) и (1.42).
назад | оглавление | вперёд