Электротехника и электроника  

АНАЛОГОВЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ

назад| оглавление| вперёд

1.1. Краткие теоретические сведения

Электрическими фильтром называется линейный четырехполюсник, предназначенный для пропускания с малым ослаблением колебаний, частоты которых расположены в заданной полосе частот (полоса пропускания) и для пропускания с большим ослаблением колебаний других частот( полоса непропускания ).

          По взаимному расположению полос пропускания и непропускания различают (рис I.I):

-         фильтры нижних частот (ФНЧ);

-         фильтры верхних частот (ФВЧ);

-         полосовые фильтры (ПФ);

-         заграждающие (режекторные) фильтры (ЗФ).

 

рис 1.1.а

 

рис 1.1.б

 

рис 1.1.в

 

рис 1.1.г

 

Требования к электрическим характеристикам фильтра формулируются путем указания:

-         граничных частот полосы пропускания и максимального уровня рабочего ослабления в этом диапазоне частот;

-         граничных частот полосы (полос) непропускания с указанием минимального уровня ослабления в пределах этой полосы;

-         характеристическое сопротивление фильтра, обычно равного сопротивлению  его нагрузки.

Целесообразно выделить три основных этапа расчета фильтров:

-         пересчет требований к заданному фильтру в требования к ФНЧ-прототипу;

-         решение задачи аппроксимации;

-         решение задачи реализации и переход от ФНЧ-прототипа к заданному типу фильтра.

Хорошо разработанная методика расчета ФНЧ применима к расчету фильтров других типов, если характеристики заданного фильтра путем замены переменной (частоты) пересчитать в характеристики ФНЧ-прототипа. Формулы пересчета имеют вид:     

для фильтра верхних частот , для полосового фильтра , где  , для заграждающего фильтра

                                                                                                    (1.3)

Ослабление  в полосе непропускания и неравномерность  в полосе пропускания ФНЧ-прототипа остаются те же, что и у проектируемого фильтра. Перед аппроксимацией  частотных характеристик фильтра-прототипа  следует выполнить нормирование по частоте. В качестве нормирующей берется граничная частота полосы пропускания .

Нормированное значение частоты:

 

                                                                                                              (1.4)

Частотные характеристики передаточных функций полиномиального фильтра после нормирования по частоте записываются в виде:

                                                       (1.5)

Ослабление полиномиального фильтра, то есть его амплитудно-частотная характеристика

                                    (1.6)

где коэффициенты  находятся из соотношения

                                                  (1.7)

В качестве аппроксимирующих полиномов чаще всего используются полиномы Баттерворта и Чебышева.

          При аппроксимации полиномами Баттерворта обеспечивается максимально плоская характеристика ослабления в пределах пропускания:

                                                                                            (1.8)

Коэффициент , обозначаемый обычно, характеризует неравномерность ослабления в полосе пропускания и вычисляется по формуле:

                                                                                                    (1.9)

Степень аппроксимирующего полинома  вычисляется по заданному значению  [дБ] на границе полосы  непропускания, то есть на частоте :

                                                                                                   (1.10)

Полученное значение  округляется до ближайшего целого числа (в большую сторону). Полином знаменателя  передаточной функции фильтра комплексного аргумента  составляется в соответствии с теоремой Виета для полюсов ,,..,, расположенных в левой полуплоскости переменного .

          Формулы для нахождения полюсов  имеют вид /2/:

                                                                                      (1.11)

.

Таким образом:

                                                                         (1.12)

При аппроксимации полиномами Чебышева обеспечивается равномерно-колебательная характеристика ослабления в пределах полосы пропускания и максимальная крутизна нарастания ослабления в полосе задерживания среди всех типов полиномиальных фильтров равных порядков:

                                                                                         (1.13)

,где  - полином Чебышева -ого порядка в интервале  и  - вне этого интервала.

Коэффициент неравномерности ослабления в полосе пропускания  вычисляется по формуле (1.9).

          Степень аппроксимирующего полинома, найденная по формуле

                                                                                            (1.14)

округляется до ближайшего большего целого числа.

Значения корней полинома знаменателя передаточной функции вычисляется следующим образом , где

                                                                           (1.15)

,

а передаточная функция фильтра записываются в виде:

                                                                     (1.16)

Расчет гиперболических  ареа-синуса и ареа-косинуса удобно проводить по формулам:

                                                                              (1.17)

Реализация пассивного - фильтра, представляющего собой реактивный четырехполюсник лестничной структуры, нагруженный на активное сопротивление , проводится по методу Дарлингтона на основе формулы входного сопротивления, которая в нормированных значениях имеет вид:

                                                                                             (1.18)

где  - функция фильтрации.

          Для фильтра Баттерворта -ого порядка она равна:

                                                                                                            (1.19)

          Для фильтра Чебышева -ого порядка функции фильтрации приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1

 

Полином Чебышева Функция фильтрации

1

2

3

4

5

6

Выражение (1.18) раскладывается в цепную дробь  (по Кауэру) вида:

 

                                       (1.20)

 

где , - нормированные значения емкостей  и  индуктивностей  и ФНЧ-прототипа.

Для вычисления истинных значений индуктивностей и емкостей фильтра НЧ-прототипа необходимо выполнить денормирование полученных значений  и , осуществляемое по формулам:

;,

где ,  - сопротивление нагрузки.

          При переходе от ФНЧ-прототипа к заданному типу фильтра следует руководствоваться  следующим.

Преобразование  ФНЧ в ФВЧ состоит в замене индуктивностей продольных ветвей цепи   на емкости:

                                                                                             (1.22)

а емкость  в поперечных ветвях на индуктивности:

                                                                                                       (1.23)

          При переходе к полосовому фильтру индуктивности продольного плеча  заменяются  последовательным колебательным контуром с параметрами:

;                                                                                       (1.24)

Вместо емкости  в поперечном плече включается параллельный контур с элементами:

,                                                                                      (1.25)

Аналогичным образом рассчитываются параметры элементов заграждающего фильтра, только в продольном плече его:

,                                                                                        (1.26)

образуют параллельный колебательный контур, а поперечном плече

 и                                                                                     (1.27)

последовательный контур.

          Активные -фильтры представляют собой комбинацию пассивной - цепи и активного элемента. В качестве активного элемента чаще всего используются операционные усилители, имеющие инвертирующий и неинвертирующий входы.

          Исходными данными для синтеза активного - фильтра служит нормированная передаточная функция ФНЧ-прототипа, полученная  в результате аппроксимации рабочих характеристик. Обычно активный -фильтр осуществляется в виде каскадного соединения звеньев второго и одного звена первого порядка (при  - нечетном). Звенья второго порядка располагают в направлении от входа к выходу в порядке  возрастания добротности их полюсов, а звено первого порядка включается на выходе фильтра.

          При расчете низкочастотных фильтров заданная функция  разбивается на произведения передаточных функций не выше второго порядка:

                                                   (1.28)

Каждую из вновь полученных функций реализуют в виде звена первого или второго полрядка.  Возможны различные варианты построения схем звеньев. Одна из них приведена на рис.1.2.

 

рис.1.2

Передаточная функция такой цепи:

                                                                (1.29)

Если в схеме рис.1.2 выбрать , и  - активными: ,  и , а проводимости  и  - емкостными:  и , тогда схема примет вид (рис.1.3), а передаточная функция ее запишется в виде:

                                                           (1.30)

 

рис.1.3

Приравнивая между собой коэффициенты передаточной функции, входящие сомножителями в (1.28) и коэффициенты выражения (1.30), получим три уравнения для вычисления пяти неизвестных , ,,,:

                                                                                                          (1.31)

Задавшись значениями двух неизвестных, находим величины остальных. Следует иметь в виду, что при этом будут вычислены нормированные значения емкостей, так как коэффициенты передаточной функции получены  для нормированной частоты:

 

          Звено первого порядка ФНЧ имеет вид(рис1.4).

 

рис.1.4

Передаточная функция такого звена:

                                                                                                   (1.32)

Сопоставляя коэффициенты  этой функции с коэффициентами последнего сомножителя, в выражения (1.28) определяют нормированное значение постоянной времени звена фильтра.

При расчете ВЧ-активных  - фильтров  после разбиения передаточной функции фильтра НЧ-прототипа на сомножители (1.28) следует произвести замену переменной:

                                                                                                           (1.33)

В результате  передаточная функция полиномиального звена 2-го порядка ФВЧ будет иметь вид:

                                                                                     (1.34)

А звена 1-ого порядка:

                                                                                               (1.35)

Для реализации такого звена 2-ого  порядка в схеме рис. 1.2 выберем проводимости   и   - активными  и , а проводимости ,  и  - емкостными , и .

          Соответствующая схема будет иметь вид (рис.1.5).

рис.1.5

 

Передаточная функция такой схемы:

                                                         (1.36)

Значения элементов схем находятся путем сопоставления аналогичных коэффициентов выражений (1.34) и (1.36) значения 2-х из пяти неизвестных величин , , ,  и  следует задаться.

          Звено первого порядка ФВЧ имеет вид (рис 1.6) Передаточная функция такого звена /3/:

                                                                                                   (1.37)

из сопоставления коэффициентов этой  функции с коэффициентами выражения (1.35) находится нормированное значение постоянной времени звена.

рис.1.6

При проектировании полосового активного -фильтра  после разбиения передаточной функции НЧ-прототипа на сомножители (1.28) проводят замену переменой:

,                                                                                                (1.38)

где ,                                                                                               (1.39)

в результате чего передаточная функция звена второго порядка полосового фильтра:

                                                          (1.40)

где ,,, .

После несложных преобразований записывается в форме произведения двух  передаточных  функций вида:

                                                                               (1.41)

Каждую из полученных передаточных функций можно реализовать (схема рис.1.2) , если принять , ,,,(рис.1.7).

 

рис.1.7

 

Передаточная  функция схемы рис 1.7 имеет вид:

                                                    (1.42)

Элементы схемы ПФ определяются путем сопоставления коэффициентов выражений (1.41) и (1.42).

 


назад | оглавление | вперёд