Метрология стандартизация и управление качеством |
Тема 3. Погрешность измерений. Обработка результатов |
назад | оглавление | вперёд |
Классификация погрешностей:
Погрешность (неопределённость) - отклонение результата измерения Ах от истинного значения А. В международной практике рекомендовано применение термина неопределённость, в отечественной нормативной документации и учебной литературе преобладает использование термина погрешность. D = Ax - A - формула погрешности, где: A - истинное значение - значение, которое бы идеальным образом отражало в качественном и количественном отношениях измеряемую величину; Ax – результат измерения. Так как истинное значение величина идеальная и, следовательно, неизвестная, то на практике вместо нее применяют действительное значение A0: D = Ax - A0 A0 - действительное значение, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели может быть использовано вместо него. Классификация погрешностей.
Ак – конечное значение диапазона измерения.
Ан – нормирующее значение (может быть равным конечному значению шкалы, либо – ее геометрической длине либо – диапазону измерения, либо – произвольным). Относительную погрешность часто выражают в %. Для этого нужно на 100
Точность измерений.
Оценка инструментальной погрешности измерений Инструментальную погрешность нормируют путем указания пределов допускаемой погрешности, которые указываются в метрологических характеристиках средства измерения. D пред. – наибольшая по модулю погрешность средства измерения, при которой оно еще может быть допущено к применению. Фактически, это граница погрешности, за которую она не должна выходить. Таким образом, это позволяет определить границы, в которых находится истинное значение измеряемой величины A:
Пределы допускаемых погрешностей средств измерений могут быть указаны в метрологических характеристиках в разной форме:
j (Ак) - может быть задана формулой, отличной от формулы указанной в пункте 1.2, графиком или таблицей; 2. в форме относительной погрешности: 2.1 класс точности обозначен © , где с число из ряда: (1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 5) × 10n , где n = 1, 0, -1, -2...
2.2 класс точности обозначен c / d – c и d числа из ряда, указанного в пункте 2.1;
где Ак – наибольший по модулю из диапазонов измерения; Аn – показания прибора 2.3 если класс точности обозначен, как в пункте 1, то d пред задается либо формулой, отличной от формулы указанной в пункте 2.2, либо графиком, либо таблицей; 3. в форме приведенной погрешности: если класс точности обозначен, ![]()
где: Ан – нормирующее значение, которое может быть равно: а) Ан = Aк, если нулевая отметка находится на краю шкалы; б) Ан = |Ak1| + |Ak2|, если нулевая отметка находится внутри рабочей части шкалы; в) Ан = |Ak1| - |Ak2|, если нулевая отметка находится вне пределов шкалы (приборы с условным нулем), где Aк, Ak1 и Ak2 – конечные значения шкалы прибора. При измерении нужно стремится, чтобы показание прибора было как можно ближе к нормирующему значению. Вышеуказанные обозначения применяют для приборов с равномерной шкалой. 3.1 Для приборов с существенно неравномерной шкалой: Обозначение:
где Ан – нормирующее значение, равное геометрической длине всей шкалы приборов; S – чувствительность приборов в точке отсчета показания; Dl - размеры одного деления; С – цена деления. Случайная составляющая погрешности измерения (СлСПИ) и ее оценка. Случайные погрешности исследуют и оценивают с помощью теории вероятности. СлСПИ – погрешность изменяющаяся случайным образом, которая меняется при повторных измерениях случайным образом. a1, a2, a3 … ai … an – ряд наблюдений, n – число наблюдений, ai – результат наблюдения (РН), Случайная погрешность результата наблюдений: D i = ai - A
где mj – количество наблюдений, погрешность которых попала в j-ый интервал, n - частота появления события. Гистограмма - зависимость частоты появления события от размера события. При предельном переходе гистограмма превращается в дифференциальный закон распределения плотности вероятности (правый график)
Чаще других встречается нормальный закон распределения случайных погешностей:
где s - среднеквадратическое отклонение (СКО). Нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами: математическое ожидание M и среднеквадратическое отклонение s. Введем новую переменную:
которая представляет собой нормированную случайную погрешность. Пусть e граница доверительного интервала случайной составляющей погрешности, тогда ![]()
которое называют интегралом вероятности. Значение вероятности F (k) приведены в учебниках и математических справочниках Алгоритм обработки РН при оценке СлСПИ.
При n -> ¥ сумма случайных погрешностей стремится к нулю, поэтому ![]()
Нормальный закон пригоден для большого числа наблюдений, а как быть, когда число наблюдений мало? Прибегают к распределению Стьюдента :
где Г – гамма-функция, n – число наблюдений, t – нормированная случайная погрешность среднего значения:
A – истинное значение, ![]()
Из графиков распределения Стьюдента видно, что при n® ¥ оно совпадает с нормальным. 4. Вычислить оценку СКО РИ:
Формула показывает, что с увеличением количества опытов погрешность РИ падает, и при n® ¥ , случайная погрешность РИ стремиться к 0, а сам РИ, следовательно, к истинному значению, т.е. ![]() 5. Проверка гипотезы о принадлежности к нормальному распределению; а) n < 15 – невозможно определить; б) 15 ³ n ³ 50 – определение по составному критерию ГОСТ 8.207-76; в) n > 50 – определение по ГОСТ 11.06-74; 6. Выявление грубых погрешностей осуществляют в соответствии с ГОСТ 11.002-73, если есть анормальный результат наблюдения – его нужно исключить из ряда наблюдений и повторить вычисления с п. 2.; 7. Определить интервальные оценки СлСПИ: а) задан доверительный интервал СлСПИ, Е – граница доверительного интервала. Вычисляют коэффициент Стьюдента ta
значения P определяется по таблице распределения Стьюдента, б) задана доверительная вероятность – P. С помощью таблицы распределения Стьюдента по известным P и n находят ta , а затем ![]() 8. Оформить результат измерения в соответствии с МИ 1317-86. Систематическая составляющая погрешности измерения (СиСПИ) и ее оценка. Классификация СиСПИ: а) постоянная; б) переменная. Переменные: Принципы исключения СиСПИ: Оценка границ СиСПИ Q осуществляется по ГОСТ 8.207-76: 1. m > 3 (m – количество источников СиСПИ)
где Q i - граница i-ой систематической погрешности, k – коэффициент, определяемый заданной вероятностью P
1. ![]() 2. в противном случае ![]() Из двух результатов берут меньший. 3. Если закон нормальный, то при любом m
> все Q i должны быть найдены с одинаковой вероятностью при Р=0.95 можно пользоваться любой из формул 1-3 Опроеделение доверительных границ погрешности результата измерений ( ДГПРИ ) Определим ДГПРИ, если известно: Q , ![]() Необходимо найти: D - ДГ суммы НРИ. - если ![]() - если ![]() - в остальных случаях D = k(E + Q ), где k – безразмерный коэффициент. Границы Е и О должны быть определены с одинаковой вероятностью.
Оценка погрешности косвенных измерений (РД50-555-85) Пусть существует A = f(a1, a2 … am), где: А – величина подвергаемая косвенному измерению, a1, a2 … am – измеренные величины (прямые измерения).
где ![]() ![]() Дальнейшая обработка справедлива только для слабо коррелированных величин. а) ![]() б) если нелинейная зависимость, то ![]() в) если R ³ 0.8 × ![]() ![]() а) если m > 3 и закон распределения равномерный ![]() б) если m £ 3, то рассчитывают по формуле (1) и по формуле ![]() из двух значений (1) и (2) выбирают меньшее. Если закон распределения СиСПИ нормальный, то при любом m:
Все Q i должны быть определены с одинаковой вероятностью. При P = 0.95, расчет можно вести по любой формуле из (1-3). Если известны границы суммарной погрешности результатов прямых измерений D предi, и закон распределения, то для оценки нужно использовать формулу (3), где вместо Q i ставится D предi. ДГ суммы погрешностей РИ – см. выше. Формы представления результатов эксперимента: Можно указать одну значащую цифру, ели погрешность округления не превышает 5 % (погрешность округляют в большую сторону). Если погрешность округления в большую сторону превышает 5%, то можно округлять в меньшую сторону до двух значащих цифр. |
назад | оглавление | вперёд