Случайные величины, изменяющиеся в процессе опыта, называются случайными функциями. Изучением случайных явлений, в которых случайность проявляется в форме процесса, занимается специальный раздел теории вероятностей - теория случайных функций (иначе - теория случайных или стохастических процессов)

Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее - какой именно. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

Пример. Самолет, управляемый автопилотом, имеет теоретически постоянную скорость V. Фактически его скорость колеблется около этого среднего значения и представляет собой случайную величину. Конкретный полет можно рассматривать как опыт, в котором случайная функция V(t) принимает определенную реализацию. В результате нескольких полетов можно получить семейство реализаций случайной функции V(t). Каждая реализация есть обычная (неслучайная) функция.

Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента t и посмотрим, во что превратится при этом случайная функция V(t). Она превратится в случайную величину. Эта случайная величина называется сечением случайной функции в момент t.

Рассмотрим случайную величину Х(t) - сечение случайной функции в момент t. Эта случайная величина обладает законом распределения, который в общем случае зависит от t. Пусть f(x,t) - плотность вероятностей этого распределения. Функция f(х,t) называется одномерным законом распределения случайной функции X(t). Эта функция характеризует только закон распределения случайной функции X(t) в произвольный момент t. Она не содержит информацию о зависимости случайных величин при различных t.

Более полной характеристикой случайной функции X(t) является двумерный закон распределения f(,;,). Это закон распределения системы двух случайных величин Х(), Х(), т.е. двух произвольных сечений случайной функции X(t). Однако и эта характеристика в общем случае  не является исчерпывающей.

Теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов, но оперировать с функциями, зависящими от многих аргументов неудобно. Поэтому при исследовании законов случайных функций обычно ограничиваются рассмотрением частных случаев, где для полной характеристики случайной функции достаточно, например, двумерного закона распределения

Для случайных функций вводятся простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин.

Математическое ожидание случайной функции X(t) определяется следующим образом. Рассмотрим сечение случайной функции X(t) при фиксированном t. В этом сечении мы имеем обычную случайную величину. Определим ее математическое ожидание

 (t) = M[X(t)].

Математическим ожиданием случайной функции Х(t) называется неслучайная функция m_х(t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции. Аналогичным образом определяется дисперсия случайной функции.

Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция (t), значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции

(t) = D[X(t)].

Извлекая из нее квадратный корень, получим функцию (t) - среднее квадратичное отклонение случайной функции

(t) = .

Корреляционной функцией случайной функции X(t) называется неслучайная функция двух аргументов K_x(t₁,t₂), которая при каждой паре значений t₁, t₂ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции

(,) = M[X()-())·(X()-())].

Корреляционная функция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящимися к различным t.

Вместо корреляционной функции (, можно пользоваться нормированной корреляционной функцией

 ,

которая есть коэффициент корреляции величины X() и X().

Случайная функция называется стационарной, если ее математическое ожидание и дисперсия не зависит от t, то есть

(t) =  = const,       (t) =  = const,

а корреляционная функция зависит только от разности τ между первым и вторым аргументами

(t,t+τ) = (τ).

Стационарная случайная функция X(t) с (t) =  = 0 на интервале (0, τ) может быть представлена в виде спектрального разложения

X(t) =

где ,   - некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, одинаковыми для каждой пары случайных величин с одним и тем же индексом k

D[] = D[] = .

Дисперсии Dk определяются формулами

 = ,       =      при k ≠ 0.

Дисперсия стационарной случайной функции, заданной спектральным разложением равна сумме дисперсий всех гармоник ее спектрального разложения

=D[X(t)] = D() =

= D()=.

Распределение дисперсии по частотам можно изобразить графически в виде спектра стационарной случайной функции (спектра дисперсии). Для этого по оси абсцисс откладываются частоты , а по оси ординат – соответствующие дисперсии , , …,

Ниже в таблицах сведены все основные формулы раздела о случайных процессах.

Характеристики непрерывного процесса в непрерывном времени

Преобразования случайного процесса X(t)