Математической статистикой называется наука, занимающаяся разработкой методов получения, описания, обработки опытных данных с целью изучения закономерностей случайных массовых явлений. Главными можно считать следующие три задачи.

 Оценка неизвестной функции распределения на основании результатов измерений.

Задача ставится так: в результате независимых испытаний над случайной величиной X получены следующие значения , , ... требуется приближенно найти (оценить) неизвестную функцию распределения F(X) случайной величины Х.

 Оценка неизвестных параметров функции распределения.

Допустим, известен тип функции распределения случайной величины X, зависящей от k параметров, значение которых неизвестно (например, известно, что распределение нормальное, но неизвестны m и σ). Требуется оценить значения этих параметров на основе опытных данных.

 Статистическая проверка гипотез.

Предполагаем, что функция распределения есть F(X). Требуется проверить, совместимы ли полученные в результате опыта данные с этой гипотезой.

Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называется совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем  наблюдалось  -    вариантами, а последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называются частотами, а их отношения к объему выборки    =  – относительными частотами.

Статистическим распределением выборки или статистическим рядом называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) или статистической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения х относительную частоту события  :

где n_x – число вариант, меньших х, n – объём выборки.

Пусть   - выборка объёма n с функцией распределения  .

Выборочной средней  называют среднее арифметическое значение выборочной совокупности.

         Если все  выборки объёма n различны, то

.

Если значения  имеют соответствующие частоты , причем , то

.

Выборочной дисперсией D^* называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений от их среднего значения .

         Если все  выборки объёма n различны, то

.

Если значения  имеют соответствующие частоты , причем , то

.

Более удобна формула                  .

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – границами интервала.

Доверительным интервалом для параметра θ называется интервал , содержащий истинное значение θ с заданной вероятностью , то есть

.

Число  называется доверительной вероятностью (надежностью), а значение  - уровнем значимости.

         Интервальной оценкой (с надежностью р) математического ожидания m нормально распределенного случайного признака X по выборочному среднему  при известном среднем квадратичном отклонении σ служит доверительный интервал

,

где n – объём выборки, t – значение аргумента функции Лапласа  (см. таблицу), при котором .

         Интервальной оценкой (с надежностью р) среднего квадратичного отклонения σ нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выборочному среднему квадратичному отклонению s служит доверительный интервал

 при ,    при ,

где   - «исправленное» выборочное среднее квадратичное отклонение, q находят по таблице  по заданным n и p.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о неизвестных параметрах известного распределения.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость её проверки. Поскольку проверку производят статистическими методами, её называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы могут возникнуть ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Для проверки гипотезы используют случайную величину, которая называется статистическим критерием (или просто критерием).

После выбора критерия, множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Числовые таблицы

Таблица значений функции  Гаусса 

Таблица значений функции Лапласа